Симон Абкарян родился в 1962 году в пригороде Парижа, но вырос в Бейруте. Сценическую карьеру он начал в Ливане как танцор армянского ансамбля «Лори», имея за спиной опыт работы сапожником. После переезда в Америку в начале 1980-х Абкарян перешел в театральную труппу Джеральда Папазяна при местном отделении Всеобщего армянского благотворительного союза (AGBU). Набравшись сценического опыта, Абкарян вновь оказался в Париже, где несколько лет плодотворно работал в Théâtre du Soleil, знаменитой авангардной труппе Арианны Мнушкин. В 2001 году за свое исполнение роли жертвы геноцида армян он был удостоен высшей театральной награды Франции — премии «Мольер».
К тому времени Симон уже успел несколько раз появиться в фильмах французских режиссеров. Широкую известность, однако, ему принесла роль художника армянского происхождения Аршила Горки в драме Атома Эгояна «Арарат». Два года спустя Абкарян вновь вернулся к армянской тематике, сыграв главную роль в картине Робера Кешишяна «Арам». В том же году актер был дважды признан лучшим на кинофестивалях в Монсе и Салониках за роль в фильме Ронита Элкабеца «И взять себе жену». Тогда же он впервые снялся у британского режиссера Сэлли Портер, сыграв в семейной драме «Да» ливанского врача, а пять лет спустя он принял участие в экспериментальном проекте Портер «Гнев».
В 2006 он вновь сыграл армянина в картине Робера Гедикяна «Путешествие в Армению», а так же засветился во второстепенной роли в 22-й серии Бондианы «Казино Рояль». Последняя на сегодняшний день крупная работа Абкаряна — роль героя французского Сопротивления в годы Второй мировой войны Мисака Манушяна — состоялась в военной драме того же Гедикяна «Армия преступников». А уже в феврале актера можно будет увидеть на большом экране в нашумевшей исторической драме о Геноциде «Шрам», снятой немецким режиссером турецкого происхождения Фатихом Акином.