Абрамян родился в 1930 году Ереване. Там он закончил театральный институт и в возрасте 21 года поступил в труппу Ереванского академического театра имени Сундукяна — главного драматического театра Армении. С ним Абрамян свяжет большую часть жизни: будет там и главным режиссером и художественным руководителем.
Кроме того актер несколько лет руководил драмтеатром в Ленинакане (Гюмри), преподавал в Ереванском художественно-театральном институте. Немного занимался политикой и общественной работой: был председателем Союза театральных деятелей Армении, а в 1989-1991 годах — народным депутатом СССР.
Сниматься в кино Абрамян начал в 1949 году. Дебютировал в картине «Девушка Араратской долины» — музыкальной комедии режиссера Амо Бек-Назаряна. Всего за свою карьеру Абрамян сыграл в 42 картинах, в том числе в фильме «Высота», «Братья Сарояны» (здесь он выступил и в качестве режиссера), «Аревик». Последняя лента с участием Абрамяна — «Ной» — вышла в 1993 году.
Хорен Абрамян умер в декабре 2004 года в Ереване, похоронен в Пантеоне парка имени Комитаса.