Генрих Каспарян родился 27 февраля 1910 года в Тифлисе. Его родители Мовсес Каспарян и Шушаник Исаханян были коренными карабахцами, родом из села Тагасер. Проживая в столице Грузии Тифлисе, Мовсес работал каменщиком, а мать Шушаник занималась воспитанием детей: Рубена и Генриха. Заметим, что мальчики с детства интересовались шахматами, а их дядя Арташес Исаханян устроил племянников в местную шахматную школу, где оба показали хорошие результаты. Однако Генрих, все же оказался лучше своего старшего брата.
В 16 лет, приняв участие в шахматном турнире Тифлиса, в котором принимало 600 участников, юный Генрих одержал победу. Через три года после этого турнира его включили в состав сборной Тифлиса. Говорят, Генрих Мовсесович мыслил и играл настолько быстро, что было сложно предугадывать его следующий ход. Однако, в 1931 году в 7-ом чемпионате СССР Генрих Каспарян уступил одно очко Михаилу Ботвиннику и остался во второй половине турнирной таблицы. Далее последовали другие турниры, где он стал чемпионом Армении (1934), и Закавказья (1935). Примечательным для Генриха Мовсесовича оказался 1947 год: он принимал участие в турнире сильнейших шахматистов в СССР. Опередив Сало Флора, Игоря Бондаревского, Владимира Симагина, Александра Толуша и Владимира Макогонова, Генрих занял лишь 7 место. Однако многие до сих пор говорят, что такой интересной партии, какая была у Каспаряна с Болеславским - еще не наблюдалась.
«Генрих Каспарян принадлежит к небольшому отряду удивительных волшебников, поэтов шахмат. Его лучшие произведения отличаются непревзойденным мастерством, уникальным содержанием, глубиной и тонкостью исполнения», - говорил международный гроссмейстер Юрий Авербах.
После турнира Каспарян был включён в сборную СССР и принимал участие в английском турнире. В одном из лондонских университетов Генрих прочел лекцию «Советский шахматный этюд», который был опубликован шахматным журналом «British Chess Magazine». В 1950 году, в поединке с Виталием Чеховером Генрих одержал победу и стал первым шахматистом среди армян, удостоенным звания мастера спорта по шахматам и заслуженным мастером спорта СССР (1956 г.). В 1962 году, завоевав серебряную медаль в 3-м конкурсе ФИДЕ, Генрих возглавил самый высокий рейтинг в мире, а 1972 году - стал международным гроссмейстером и арбитром.
«Не было бы преувеличением сказать, что если бы существовало звание чемпиона мира по шахматной композиции, то оно, несомненно, было бы присвоено Генриху Мовсесовичу», - продолжал Авербах.
После завершения карьеры, Генрих Мовсесович посвятил себя воспитанию юных шахматистов. Среди его учеников известны такие гроссмейстеры, как Карен Мовсисян, Аршак Петросян, Левон Еолян, Эдуард Мнацаканян, Левон Григорян и Сергей Галдунц. Помимо воспитательской деятельности, Генрих опубликовал более 600 этюдов, 40 задач, а также 23 книги по шахматам и шахматным композициям.
«Мне часто приходилось судить различные конкурсы, в том числе и первенство страны, в которых принимал участие Генрих Мовсесович. Его самобытный почерк и высочайшая техника произведения всегда отличалась от других. Недаром у него столько высоких званий и первых призов», - говорил Юрий Авербах.