Боксерскую карьеру Артур начал еще в Армении: с 1999 по 2003 год Аветик Абраамян трижды становился чемпионом страны среди любителей, но не выступал на международном уровне. Лишь после переезда в Германию и подписания контракта с промоутером Вильфридом Зауэрландом перед ним наконец открылись двери в профессиональный бокс.
10 декабря 2005 года Абрааам получил чемпионский пояс в средней весовой категории по версии IBF. Свою 19-ю победу подряд он одержал над нигерийцем Кингсли Икеке. Противник был повержен уже в пятом раунде после мощного нокаута. Таким образом Икеке лишился титула чемпиона мира в среднем весе по версии IBF, а Артур стал первым армянским боксером, завоевавшим чемпионский пояс в этой весовой категории. По собственному признанию, этого момента боксер ждал 15 лет — с тех пор как впервые увидел по телевизору, как чемпионов на руках подбрасывают вверх члены команды.
В последующие несколько лет Артур Абраам, получивший прозвище «король Артур», несколько раз защищал свой титул в боях с претендентами. С 2012 года Абраам — чемпион мира по версии WBO во втором среднем весе (этот пояс он упустил ненадолго в 2013). Этот титул он защитил 27 сентября 2014 года, побив англичанина Пола Смита. Сегодня на его счету 45 побед в 50 поединках, из которых 28 завершились нокаутом.
В 2006, 2009 и 2012 годах Артур признавался «Боксёром года» в Германии по версии журнала «БоксСпорт».
В 2015 году боксер получил звание «Почетный гражданин Еревана».