Анна Меликян родилась в 1976 году в Баку, выросла в Ереване, а режиссером стала в Москве, куда переехала с семьей в 17 лет. Отточив мастерство во время учебы во ВГИКе на студенческих короткометражках («До востребования», «Контрабас», «Andante» и «Полетели»), в 2004 она сняла свой первый полный метр — комедию «Марс» с Гошой Куценко в главной роли.
Но широкий успех к Меликян пришел через несколько лет благодаря «Русалке». История девушки с зелеными волосами, умеющей исполнять желания, была признана лучшей в игровом конкурсе кинофестиваля Сандэнс, а Меликян была включена в традиционный список 10 самых перспективных кинорежиссеров года по версии журнала Variety. В том же году «Русалка» отправилась покорять Берлинский кинофестиваль, где участвовала в конкурсе «Панорама». Фильм и оттуда ушел с наградой: премией Международной ассоциации кинокритиков (FIPRESCI). Исполнительница главной роли Мария Шалаева получила приз за лучшую женскую роль на «Кинотавре» и удостоилась премии «Ника». Заключительным же призовым аккордом для фильма тем же летом стала главная премия ереванского кинофестиваля «Золотой абрикос».
После успешного шествия «Русалки» Меликян занялась продюсерской деятельностью, специально для этого основав кинокомпанию «Магнум». Она приняла участие в создании нескольких фильмов, в том числе триллера Карена Оганесяна «Домовой» и комедии Дмитрия Грачева «Невеста любой ценой».
В 2014 году Анна Меликян наконец вернулась на большой экран, представив свою «Звезду». Фильм был тепло принят критиками и зрителями, в том числе армянскими: как и «Русалка», новая лента была представлена на «Золотом абрикосе». А на «Кинотавре» Меликян получила приз за лучшую режиссуру.